Métodos IMEX para integração temporal da Equação de Burgers

• Ano de defesa: 2018
• Autor(a) principal: Antonio Maurício Zarzur
• Orientador(a): Stephan Stephany, Saulo Ribeiro de Freitas
• Banca de defesa: Reinaldo Roberto Rosa, Pedro Leite da Silva Dias
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE)
• Programa de Pós-Graduação: Programa de Pós-Graduação do INPE em Computação Aplicada
• País: BR
• Resumo em Inglês: Computational simulations are based on mathematical models developed for certain phenomena. The numerical solution of partial differential equations requires the choice of a method for time integration capable of stably simulating the evolution of a problem. There are methods that are more suitable to certain classes of phenomena, and therefore no single, general method can be applied to every problem. Both accuracy and stability of the chosen method must be taken into account, as well as its computational efficiency. Generally speaking, time integration schemes are categorized as either implicit or explicit. Each of these broad families presents pros and cons when solving certain classes of problems. A more modern approach, called IMEX, seeks to combine the advantages of each strategy to solve equations containing both fast and slow time-scales in a way that the slow terms can be solved explicitly, while the slow terms are solved implicitly. This results in a combination of different schemes with the goal of optimizing processing time by avoiding unnecessarily small time steps for the fast terms. This dissertation utilizes this approach in solving the viscous Burgers equation as a test case for such methods, analyzing their accuracy and computational performance. Burgers equation is one of the fundamental equations in fluid dynamics which essentially simplifies the Navier-Stokes equations by removing the pressure gradient terms and continuity equation, thus serving diverse practical applications. Because its exact solution is known, comparisons can be drawn between the accuracy of the proposed IMEX schemes and that of more traditional implicit or explicit schemes. Numerical experiments are performed to demonstrate their ability to simulate the problem with the same order of accuracy achieved by traditional means, while extending the stability conditions beyond the reach of purely explicit schemes.
• Link de acesso: http://urlib.net/sid.inpe.br/mtc-m21c/2018/04.26.15.43

Simulações computacionais baseiam-se em modelos matemáticos desenvolvidos para certas classes de fenômenos. A solução computacional de equações diferenciais parciais requer a escolha de um método de integração temporal capaz de simular, de forma estável, a evolução do problema. Há métodos mais adequados para determinadas classes de fenômenos, não existindo um método geral que sirva adequadamente para todos os fenômenos. Deve-se levar em conta a acurácia e a estabilidade do método adotado, bem como seu desempenho computacional. De forma geral, os métodos de integração temporal são classificados como implícitos ou explícitos. Cada família apresenta vantagens e desvantagens na solução de determinadas classes de problemas. Uma abordagem mais recente, denominada IMEX, visa combinar as vantagens de cada estratégia para solucionar equações com escalas de tempo variáveis, de forma que os termos rápidos são resolvidos implicitamente e os mais lentos são resolvidos explicitamente. O resultado é uma combinação de diferentes esquemas que otimiza o tempo de processamento ao evitar passos de tempo desnecessariamente pequenos para os termos rápidos. Este trabalho propõe a aplicação dessa abordagem na solução da equação de Burgers viscosa, objetivando realizar um estudo de caso, analisando sua acurácia e desempenho computacional. A equação de Burgers é uma das equações fundamentais da dinâmica de fluidos e serve como uma simplificação das equações de Navier-Stokes sem a presença da equação de continuidade e dos gradientes de pressão, possuindo assim diversas aplicações práticas. Sua solução exata é conhecida, o que permite a comparação da acurácia dos métodos IMEX propostos com os tradicionais esquemas implícitos ou explícitos. Experimentos numéricos demonstram que os métodos propostos produzem soluções com o mesmo grau de acurácia dos métodos tradicionais, ao mesmo tempo em que estendem as condições de estabilidade além dos limites de métodos puramente explícitos.