Co-treewidth, co-degeneracy e os fechos de bondy e chvátal

• Ano de defesa: 2025
• Autor(a) principal: Duarte, Gabriel Lagoa
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• dARK ID: ark:/87559/001300001c8vn
• Idioma: por
• Palavras-chave em Português: Algoritmos parametrizados; Degeneração; Grafo complementar; Grafo; Algoritmo em grafos; Estimativa de parâmetro; FPT; Treewidth; Degeneracy; Complement graph; Bondy-chvátal closure
• Link de acesso: https://app.uff.br/riuff/handle/1/40137

Para problemas que são tratáveis quando parametrizados pela treewidth e intratáveis quando parametrizados pela clique-width, pode haver infinitas famílias de instâncias com clique-width limitada e treewidth não limitada onde o problema pode ser solucionado eficientemente. Longest Cycle, Longest Path, Path Cover, Cycle Cover, Max-Cut, Edge Dominating Set, e Graph Coloring são exemplos de problemas que são FPT quando parametrizados pela treewidth e que não podem ser resolvidos em tempo FPT quando parametrizados pela clique-width, assumindo FPT != W[1]. Em 2017, Knop, Koutecký, Masařík, e Toufar [WG 2017] perguntaram sobre a complexidade de problemas de decisão Π sobre o grafo complementar de G considerando um parâmetro p de G, especialmente para parâmetros esparsos como a treewidth. A treewidth de um grafo complementar, proposto ser chamado de co-treewidth, parece ser um bom parâmetro de largura para lidar com instâncias densas de problemas que são consideradas “difíceis” em respeito a clique-width. Nesse trabalho, nós iniciamos um estudo sistemático sobre a parametrização pela co-treewidth. Além disso, como a degeneração de um grafo é, no máximo, sua treewidth, introduzimos um estudo sobre a co-degeneracy (a degeneração do grafo complementar) como um parâmetro. Em 1976, Bondy e Chvátal [DM 1976] introduziram as noções de fecho de um grafo e a estabilidade de propriedades em grafos. Nesse trabalho, desenvolvemos um framework algorítmico para a parametrização por co-degeneracy baseado na noção de fechos para resolver problemas que são (n + ℓ)-estáveis para algum ℓ limitado a uma função da co-degeneracy. Usando esse framework, é mostrado que Longest Path, Longest Cycle, e Path Cover são todos tratáveis por parâmetro fixo quando parametrizados pela co-degeneracy. Além disso, determinamos a estabilidade da propriedade de ter uma cobertura por ciclos de tamanho no máximo r. Após isso, usamos nosso framework, junto com alguns resultados e técnicas apresentadas em Jansen, Kozma, and Nederlof [WG 2019], mostramos que Cycle Cover parametrizado pela co-degeneracy admite um kernel linear sob o número de vértices. Fora isso, nós também mostramos que Edge Dominating Set é FPT quando parametrizado pela co-degeneracy. Por outro lado, reforçamos que Graph Coloring embora seja para-NP-completo quando parametrizado pela co-degeneracy é FPT quando parametrizado pela co-treewidth. Relativo a MaxCut, apresentamos um algoritmo FPT parametrizado pela co-treewidth, enquanto deixamos aberto sua complexidade quando parametrizado pela co-degeneracy. Adicionalmente, mostramos que Precoloring Extension é FPT quando parametrizado pela co-treewidth, enquanto esse problema é conhecido por ser W[1]-difícil quando parametrizado pela treewidth.