Resultados de controlabilidade pontual para a equação do calor unidimensional
Ano de defesa: | 2021 |
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Orientador(a): | |
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Tipo de documento: | Dissertação |
Tipo de acesso: | Acesso aberto |
Idioma: | por |
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Universidade Federal da Paraíba
Brasil Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática UFPB |
Programa de Pós-Graduação: |
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País: |
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Palavras-chave em Português: | |
Link de acesso: | https://repositorio.ufpb.br/jspui/handle/123456789/22016 |
Resumo: | In this work we’ll study the pointwise null controllability problem for the onedimensional heat equation. First, will be shown that the pointwise controllability is equivalent to the convergence of an appropriate series depending only on the point, the controllability time and the eigenvalues and eigenfunctions of the one-dimensional Laplace operator. As a consequence, there exists a minimum time of controllability, which may be strictly positive. This phenomenon of positive minimum time of controllability doesn’t occur in the case of controls applied on open sets. Furthermore, using arguments from diophantine approximation theory, we show that the set of points for which the equation is pointwise controllable for all time is a dense subset of the domain. Finally, with the aim of understanding the phenomenon of minimum time, it was analyzed what happens when the control is applied to an open set that degenerates to a point. |
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Resultados de controlabilidade pontual para a equação do calor unidimensionalEquação do calor unidimensionalControlabilidade nula pontualTempo mínimo de controleAproximação diofantinaOne-dimensional heat equationPointwise null controllabilityMinimal time controlDiophantine approximationCNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICAIn this work we’ll study the pointwise null controllability problem for the onedimensional heat equation. First, will be shown that the pointwise controllability is equivalent to the convergence of an appropriate series depending only on the point, the controllability time and the eigenvalues and eigenfunctions of the one-dimensional Laplace operator. As a consequence, there exists a minimum time of controllability, which may be strictly positive. This phenomenon of positive minimum time of controllability doesn’t occur in the case of controls applied on open sets. Furthermore, using arguments from diophantine approximation theory, we show that the set of points for which the equation is pointwise controllable for all time is a dense subset of the domain. Finally, with the aim of understanding the phenomenon of minimum time, it was analyzed what happens when the control is applied to an open set that degenerates to a point.Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPqNeste trabalho estudaremos a controlabilidade nula pontual para a equação do calor unidimensional. Primeiramente, será mostrado que a controlabilidade nula pontual está diretamente relacionada com a convergência de uma série de números reais que depende apenas do ponto, do tempo de controlabilidade e dos autovalores e autofunções do operador de Laplace unidimensional. Como consequência, veremos que existe um tempo mínimo de controle, o qual pode ser estritamente positivo, fenômeno este que não existe no caso de controles aplicados em conjunto abertos. Além disso, usando argumentos de aproximação diofantina, verificamos que o conjunto dos pontos para os quais a equação ´e pontualmente controlável para todo tempo forma um conjunto denso no domínio. Por fim, tentando entender o fenômeno de tempo mínimo, foi analisado o que acontece com as propriedades de controlabilidade quando o controle está aplicado em um intervalo aberto que se degenera a um ponto.Universidade Federal da ParaíbaBrasilMatemáticaPrograma de Pós-Graduação em MatemáticaUFPBSilva, Felipe Wallison Chaveshttp://lattes.cnpq.br/5542214975995315Silva, Marcos Gabriel Ferreira da2022-02-03T18:07:08Z2021-08-252022-02-03T18:07:08Z2021-08-13info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesishttps://repositorio.ufpb.br/jspui/handle/123456789/22016porAttribution-NoDerivs 3.0 Brazilhttp://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/br/info:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFPBinstname:Universidade Federal da Paraíba (UFPB)instacron:UFPB2022-08-09T14:54:05Zoai:repositorio.ufpb.br:123456789/22016Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttps://repositorio.ufpb.br/PUBhttp://tede.biblioteca.ufpb.br:8080/oai/requestdiretoria@ufpb.br|| diretoria@ufpb.bropendoar:2022-08-09T14:54:05Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFPB - Universidade Federal da Paraíba (UFPB)false |
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In this work we’ll study the pointwise null controllability problem for the onedimensional heat equation. First, will be shown that the pointwise controllability is equivalent to the convergence of an appropriate series depending only on the point, the controllability time and the eigenvalues and eigenfunctions of the one-dimensional Laplace operator. As a consequence, there exists a minimum time of controllability, which may be strictly positive. This phenomenon of positive minimum time of controllability doesn’t occur in the case of controls applied on open sets. Furthermore, using arguments from diophantine approximation theory, we show that the set of points for which the equation is pointwise controllable for all time is a dense subset of the domain. Finally, with the aim of understanding the phenomenon of minimum time, it was analyzed what happens when the control is applied to an open set that degenerates to a point. |
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