Homogeneização assintótica com transformada de Laplace na modelagem de meios microperiódicos

• Ano de defesa: 2019
• Autor(a) principal: Ferreira, Amanda Mallue
• Orientador(a): Costa, Camila Pinto da
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Federal de Pelotas
• Programa de Pós-Graduação: Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática
• País: Brasil
• Palavras-chave em Português: Transformada de Laplace; MHA; ADMM
• Área do conhecimento CNPq: CIENCIAS EXATAS E DA TERRA
• Link de acesso: http://guaiaca.ufpel.edu.br/xmlui/handle/prefix/14398

Este trabalho inicia nosso estudo sobre a combinação de transformadas integrais com homogeneização matemática em uma metodologia integradora, visando simplificar a resolução de equações diferenciais em derivadas parciais com coeficientes rapidamente oscilantes, e problemas de valores de contorno e/ou iniciais. Especificamente, foram estudadas as seguintes ferramentas matemáticas: a transformada de Laplace, o método de homogeneização assintótica (MHA) e o método multicamadas de advecção-difusão (ADMM). Primeiramente, apresentamos uma breve introdução sobre o método da transformada de Laplace, contendo: sua definição, propriedades principais e inversão de forma analítica. Ainda, e desenvolvido um exemplo na qual resolvemos um problema de valores de contorno e iniciais para a equação do calor empregando as transformadas de Laplace direta e inversa. Além disso, estudamos o algoritmo de Talbot Fixo para a inversão numérica da transformada de Laplace. Deste algoritmo, analisamos a sua precisão e a sua convergência, para o qual foram empregadas funções teste e avaliado o erro máximo absoluto para vários valores dos parâmetros relevantes. A seguir, apresentamos detalhadamente o desenvolvimento do MHA no caso de um problema de valores de contorno para a equação elíptica não homogênea com coeficiente periódico, que descreve um campo térmico estacionário. Ainda, são mostrados os resultados da combinação da transformada de Laplace com o MHA para resolver formalmente um problema de valores de contorno e inicial para a equação parabólica não homogênea com coeficiente periódico. Especificamente, a equação resultante após aplicar a transformada de Laplace e uma equação elíptica, similar à apresentada anteriormente e contendo um termo advectivo e, por isso, a aplicação do MHA é quase imediata. Logo, do ADMM é apresentado o desenvolvimento da discretização para uma camada, duas camadas e n-camadas, e sua aplicação é ilustrada mediante a um exemplo numérico. Finalmente, comparamos a aplicação pura do ADMM e a combinação com o MHA para resolver um problema de valores de contorno e inicial para a equação do calor não homogênea, com coeficientes periódicos. Um exemplo é resolvido detalhadamente, incluindo o uso do algoritmo Talbot Fixo. A precisão e o custo computacional de ambas as abordagens são aferidas.