Comportamento de livre escala nas sequências de hailstone usando o mapa de Collatz

Detalhes bibliográficos
Ano de defesa: 2021
Autor(a) principal: Santos, Desiane Maiara Gomes dos
Orientador(a): Mohan, Madras Viswanathan Gandhi
Banca de defesa: Não Informado pela instituição
Tipo de documento: Tese
Tipo de acesso: Acesso aberto
Idioma: por
Instituição de defesa: Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Programa de Pós-Graduação: PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Departamento: Não Informado pela instituição
País: Brasil
Palavras-chave em Português:
Física
Avalanche
Sistema complexo
Lei de potência
Movimento browniano
Sequências de granizo
Link de acesso: https://repositorio.ufrn.br/handle/123456789/44909
Resumo: A conjectura de Collatz, possivelmente o problema mais elementar na matemática ainda não resolvido, a rma que para todos os inteiros positivos n, o mapa n 7→ n/2 (n par) e n 7→ 3n + 1 (n ímpar) atinge 1 após um número nito de iterações. As órbitas do mapa de Collatz que aqui consideramos, também conhecidas como sequências de granizo, foram geradas buscando entender se exibem ou não comportamento invariante de escala, em analogia com certos processos observados em sistemas físicos reais. Desenvolvemos uma maneira e ciente de gerar órbitas para n's extremamente grandes (por exemplo, maior do que n ≈ 103,000), permitindo analisar estatisticamente sequências muito longas. Com essa maneira e ciente, encontramos evidência muito forte de uma lei de potência sem escala para o mapa de Collatz. Derivamos analiticamente os expoentes de escala, apresentando excelente concordância com as estimativas numéricas. As sequências sem escala vistas na dinâmica de Collatz são consistentes com o Movimento Browniano Geométrico com Drift, que é compatível com a validade da conjectura de Collatz. Nossos resultados levam a outra conjectura (concebivelmente testável por meio de simulações numéricas diretas, embora demoradas): dado uma condição inicial n, o número médio de iterações necessárias para chegar a 1 é proporcional, para a ordem mais baixa, a log[n].
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