Sobre o problema da decomposição matricial em componentes esparsa e de posto baixo com exemplos em videovigilância
| Ano de defesa: | 2021 |
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Resumo: | Orientadores: Sandra Augusta Santos, Paulo José da Silva e Silva |
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Sobre o problema da decomposição matricial em componentes esparsa e de posto baixo com exemplos em videovigilânciaOn the sparse and low rank matrix decomposition problem with examples in video surveillanceOtimização convexaSuavização (Análise numérica)Continuação homotópicaMétodo de gradiente proximalConvex optimizationSmoothing (Numerical analysis)Homotopy continuationProximal gradient methodOrientadores: Sandra Augusta Santos, Paulo José da Silva e SilvaTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaResumo: Neste trabalho, tratamos do problema discreto fundamental de decomposição de uma dada matriz retangular como a soma de uma parcela esparsa com outra de posto baixo, aplicado a situações prototípicas de videovigilância, sem informações prévias sobre padrões de esparsidade e posto subjacentes. Como é comum na literatura, esparsidade e posto baixo são induzidos nas componentes por meio das funções de aproximação que constituem os respectivos envelopes convexos: a norma-l1 do vetor de entradas matriciais e a norma nuclear matricial. A combinação convexa de tais normas constitui então uma função objetivo a ser minimizada sob restrições de igualdade. Nossa proposta consiste na suavização do termo da norma-l1 via função de Huber e na incorporação das restrições à nova função objetivo, a qual é otimizada com um método do tipo gradiente proximal com tamanho do passo à la Barzilai-Borwein associado a um esquema de continuação homotópica que atua no ajuste do parâmetro de suavização. Conduzimos experimentos numéricos com instâncias de filmagens reais, de porte da ordem de dezenas de milhões de variáveis, em concorrência com o Método dos Multiplicadores com Direções Alternadas (ADMM), estado-da-arte para a classe de problemas. Os resultados mostraram que, no que diz respeito à reconstrução das imagens, nossa abordagem atinge precisão suficiente com menos esforço computacional, em termos do número de decomposições em valores singulares. Além disso, desenvolvemos uma heurística para a escolha do ponto inicial que acelerou substancialmente a convergência do ADMM nas situações práticas analisadasAbstract: In this work, we tackle the fundamental discrete problem of decomposing a given rectangular matrix as the sum of a sparse and a low-rank components, applied to prototypical video surveillance instances, without prior information on the underlying sparsity and rank patterns. As it is common in the literature, sparsity and low rank are induced by the respective convex hull approximation functions: the vector l1-norm and the nuclear norm. The convex combination of such norms then constitutes an objective function to be minimized under equality constraints. Our proposal consists in smoothing the l1-norm using the Huber function and in incorporating the constraints into the new objective function, which is optimized with a proximal gradient-type method with the Barzilai-Borwein stepsize, combined with a homotopy continuation scheme that acts on the adjustment of the smoothing parameter. We conducted numerical experiments with instances of real footage, with tens of millions of variables, and compared the results with the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM), one of the state-of-the-art algorithms for this class of problems. The results showed that, with regard to visual image reconstruction, our approach achieves sufficient precision with less computational effort, in terms of the number of Singular Value Decompositions. In addition, we developed a warm-start heuristic that substantially accelerated ADMM convergence in the practical instancesDoutoradoMatemática AplicadaDoutor em Matemática AplicadaCNPQ140894/2016-0CAPES0[s.n.]Santos, Sandra Augusta, 1964-Lopes, Renato da RochaMartínez Pérez, José MarioHelou Neto, Elias SalomãoHirata Junior, RobertoUniversidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaPrograma de Pós-Graduação em Matemática AplicadaUNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASNascimento, Ivan Xavier Moura do, 1989-20212021-11-29T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdf1 recurso online (223 p.) : il., digital, arquivo PDF.https://hdl.handle.net/20.500.12733/2752NASCIMENTO, Ivan Xavier Moura do. Sobre o problema da decomposição matricial em componentes esparsa e de posto baixo com exemplos em videovigilância. 2021. 1 recurso online (223 p.) Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, Campinas, SP. Disponível em: https://hdl.handle.net/20.500.12733/2752. Acesso em: 3 set. 2024.https://repositorio.unicamp.br/acervo/detalhe/1236027Requisitos do sistema: Software para leitura de arquivo em PDFporreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)instname:Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)instacron:UNICAMPinfo:eu-repo/semantics/openAccess2022-02-14T10:40:13Zoai::1236027Biblioteca Digital de Teses e DissertaçõesPUBhttp://repositorio.unicamp.br/oai/tese/oai.aspsbubd@unicamp.bropendoar:2022-02-14T10:40:13Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)false |
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