Oscilações periódicas e caóticas em sistemas diferenciais que modelam circuitos elétricos com memristores localmente ativos

• Ano de defesa: 2021
• Autor(a) principal: Sandoval, Liner Samer Albornoz
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Estadual Paulista (Unesp)
• Palavras-chave em Português: Memristor; Sistemas memristivos; Memristor localmente ativo; Oscilações periódicas; Comportamento caótico; Memristive systems; Locally active memristor; Periodic oscillations; Chaotic behavior
• Link de acesso: http://hdl.handle.net/11449/215321

O memristor (ou resistor com memória) é considerado o quarto elemento passivo fundamental de um circuito elétrico, em adição aos conhecidos resistores, capacitores e indutores. Neste trabalho, apresentamos um pequeno histórico sobre a descoberta deste quarto elemento, sua construção física e descrevemos algumas de suas principais propriedades, em termos das equações que o determinam e de exemplos. Em seguida, apresentamos o estudo de sistemas diferenciais em R2 e R3, que modelam circuitos elétricos envolvendo um memristor localmente ativo, controlado por corrente. Tais modelos foram propostos no artigo [12], que é a base do estudo aqui apresentado. O sistema diferencial planar, que modela um circuito envolvendo um memristor, um indutor e um resistor, possui cinco pontos de equilíbrio, duas selas, um nó estável, um nó instável e um foco, que pode ser estável ou instável, dependendo dos valores dos parâmetros. Usando a teoria das bifurcações, mostramos que tal sistema pode apresentar oscilações periódicas, provenientes de uma bifurcação do tipo Hopf, que ocorre no ponto de equilíbrio tipo foco, dando origem a um ciclo limite estável. Em adição a este resultado, obtido também em [12] por meio de propriedades do circuito elétrico, mostramos que o sistema planar pode apresentar uma órbita homoclínica, que delimita uma região no plano de fase no interior da qual o sistema apresenta oscilações periódicas, sendo que no seu exterior as soluções tendem para um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. Desse modo, mostramos que as separatrizes dos pontos de sela desempenham um papel importante na dinâmica do modelo estudado. Vale destacar ainda que as oscilações periódicas ocorrem numa região em que o memristor é localmente ativo. No sistema diferencial definido em R3, que modela o circuito obtido adicionando-se um capacitor ao circuito planar descrito acima, além da ocorrência de oscilações periódicas, podem ocorrer também oscilações caóticas, dependendo dos valores dos parâmetros. Observamos numericamente que as oscilações periódicas existentes evoluem para caótica via uma cascata de duplicação de períodos, uma das conhecidas rotas para o caos, que ocorre ao variarmos um dos parâmetros do sistema. Novamente, as oscilações periódicas e caóticas estão relacionadas à atividade local do memristor. Ao longo do trabalho são apresentados gráficos de funções e de soluções dos sistemas diferenciais em R2 e R3, para um melhor entendimento do estudo, os quais são feitos utilizando os softwares MAPLE TM, MatLab e wxMaxima. Os estudos aqui apresentados contribuem para o entendimento da complexa dinâmica de circuitos elétricos envolvendo memristores como componentes ativos e, consequentemente, para a utilização desses componentes em áreas como a criptografia, construção de memórias não voláteis, redes neurais, inteligência artificial, dentre outras.