Lagrangianos aumentados livres de fatorações de matrizes para otimização não linear

• Ano de defesa: 2025
• Autor(a) principal: Marcondes, Diaulas Murize Santana Vieira
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Augmented lagrangian methods; Experimentos numéricos; Gradientes conjugados não lineares; Lagrangianos aumentados; MINRES; Nonlinear conjugate gradient; Nonlinear optimization; Numerical experiments.; Otimização não linear
• Link de acesso: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45132/tde-09052025-143141/

Este trabalho aborda o problema de otimização contínua em que alguma das funções que definem o problema é não linear. O objetivo principal é desenvolver métodos que não precisem de fatorações de matrizes e que, portanto, possam ser aplicados a problemas de grande porte. Numa primeira parte do trabalho focamos em problemas com restrições de caixa da forma minimizar f(x) sujeita a \\ell \\leq x \\leq u. Para este problema, propomos novos métodos baseados no consagrado método Gencan. Gencan é um método de restrições ativas que, dentro das faces, utiliza Newton truncado. Os novos métodos utilizam MINRES (do inglês, \\textit{Minimum Residual Method}) na resolução dos sistemas lineares Newtonianos no lugar de gradientes conjugados com produtos de Hessiana-vetor. Para estes métodos, apresentamos resultados de complexidade para encontrar um iterando x^k que satisfaça uma condição de otimalidade com precisão \\epsilon>0. Um deles, com complexidade O(\\epsilon^), utiliza uma tolerância dinâmica na resolução dos sistemas lineares e modifica a direção calculada com MINRES para garantir um decréscimo da ordem de \\epsilon^. Este método utiliza o método do Gradiente Espectral Projetado (SPG, do inglês \\textit{Spectral Projected Gradient}) para sair das faces. O segundo método, com complexidade O(\\epsilon^{-3/2}), resolve os sistemas lineares com MINRES de forma tal que, sobre certas hipóteses, a direção calculada garanta um decréscimo da ordem de \\epsilon^{-3/2}. Este método sai das faces minimizando um modelo quadrático com regularização cúbica sujeito às restrições de caixa. Os dois métodos mencionados, utilizam a Hessiana na forma produto Hessiana-vetor, na resolução dos sistemas lineares Newtonianos. Propomos ainda um terceiro método que, dentro das faces, utiliza o método de gradientes conjugados não lineares LCGD (do inglês, \\textit{Limited memory CG-Descent}). Este método utiliza apenas informação de primeira ordem. Para este método, apresentamos resultados de convergência assintótica a pontos estacionários. O método ASA-CG é também um método de restrições ativas que utiliza LCGD dentro das faces e uma variação do SPG para sair das faces. Experimentos numéricos mostram que, quando comparado ao ASA-CG e à versão atual do Gencan, o método proposto apresenta melhor desempenho em termos de eficiência e robustez. Na segunda parte do trabalho, consideramos o melhor dos métodos para minimização em caixas no contexto de um método de Lagrangianos aumentados para programação não linear. Algencan é um método de Lagrangianos aumentados que resolve uma sequência de subproblemas com restrições de caixa. Logo, a proposta consiste em resolver os subproblemas de Algencan com o novo método proposto para minimização em caixas. Experimentos numéricos mostram que a nova versão é mais robusta e eficiente, especialmente em problemas que não são de programação quadrática.