Polinômios irredutíveis sobre corpos finitos: construção, contagem e estimativas assintóticas

• Ano de defesa: 2020
• Autor(a) principal: Lays Grazielle Cardoso Silva de Jesus
• Orientador(a): Fabio Enrique Brochero Martínez
• Banca de defesa: Herivelto Martins Borges Filho, Lucas da Silva Reis, Luciane Quoos Conte, Sávio Reis
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Federal de Minas Gerais
• Programa de Pós-Graduação: Programa de Pós-Graduação em Matemática
• Departamento: ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
• País: Brasil
• Palavras-chave em Português: Polinômios irredutíveis; Polinômios ciclotômicos; Corpos finitos.
• Link de acesso: http://hdl.handle.net/1843/33551

Seja $\mathbb{F}_{q}$ um corpo finito com $q$ elementos. Neste trabalho serão abordados essencialmente dois tipos de problemas sobre polinômios irredutíveis. O primeiro é a construção de polinômios irredutíveis a partir da composição de um polinômio irredutível com o polinômio $x^n$. Este é um problema particular de um problema mais geral sobre fatoração de polinômios irredutíveis, quando fazemos composição deste com um outro polinômio ao qual conhecemos totalmente sua fatoração. Em particular, neste trabalho, impondo algumas condições sobre $q$, $n$, a ordem e o grau do polinômio $f$, encontramos uma fatoração de $f(x^n)$, que pode ser implementada computacionalmente para determinar explicitamente os fatores irredutíveis desta composição. Além disso, no processo também é determinada uma fórmula explícita do número de fatores irredutíveis. Este resultado generaliza os resultados encontrados em \cite{BGM}, \cite{Mey}, \cite{BGO} e \cite{WYF}. \\ Como consequência, no caso em que $f(x)=x-1$, o número de fatores irredutíveis de $x^n-1$ é também o número de elementos normais da extensão $\mathbb{F}_{q^n}$ sobre $\mathbb{F}_q$.\\ Na segunda parte do trabalho, restringimos nosso foco ao estudo de binômios irredutíveis, pois existe um critério de irredutibilidade clássico para este tipo de polinômio. Este critério foi explorado por Heyman e Shparlinski em \cite{HeSh} para determinar cotas superiores e inferiores para o número total de binômios sobre $\mathbb{F}_q$ de grau limitado por $T$, com $T$ suficientemente grande. No trabalho deles, também são encontradas cotas superior e inferior para o número total de binômios de grau $t$ sobre os corpos $\mathbb{F}_q$ quando $q$ está limitado por uma constante $Q$, mas achamos que este tipo de estimativa não é muito interessante, pois são contados objetos que pertencem a corpos com características distintas. Assim, nesta segunda parte são determinadas fórmulas, que são assintoticamente corretas, para o número de binômios irredutíveis sobre $\mathbb{F}_q$ e de grau menor que $T$, melhorando substancialmente o resultado de Heyman e Shparlinski. Também são encontradas fórmulas para cotas superior e inferior que são válidas para valores pequenos de $T$.