Fundamentos da aritmética formal

• Ano de defesa: 2023
• Autor(a) principal: Rolim, Raphael Reichmann
• Orientador(a): Pellegrino, Daniel Marinho
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Federal da Paraíba
• Programa de Pós-Graduação: Programa de Pós-Graduação em Matemática
• Departamento: Matemática
• País: Brasil
• Palavras-chave em Português: Álgebra linear; Teoria dos números; Axiomas de peano; Formalismo de Hilbert; Números primos; Linear Algebra; Number Theory; Peano Axioms; Hilbert's Formalism; Prime Numbers; Convolutions
• Área do conhecimento CNPq: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
• Link de acesso: https://repositorio.ufpb.br/jspui/handle/123456789/30014

Neste trabalho propus a união da axiomática de Peano à axiomática dos espaços vetoriais, através do conceito de base ordenada, culminando na definição de espaço aritmético. Esta união permitiu uma sistematização universal dos procedimentos mais comuns do estudo da teoria dos números através de funções geradoras, desenvolvendo uma linguagem compreensiva e coesa. Defini a noção de aritmética, função sucessora e gerador, operações aritméticas iterativas e endomórficas, e de monóides de operações e seus homomorfismos, assim como a noção autossimilar de meta-aritmética. Desenvolvi o conceito de álgebra de operações aritméticas, transportando completamente a teoria das operações aritméticas para dentro da teoria das transformações lineares. Mostrei como as álgebras definidas podem ser compreendidas de diversas maneiras já bem estabelecidas da Álgebra, e a relação destas estruturas com álgebras convolutivas. Estudei seus homomorfismos quando são álgebras de Banach e, em particular, o problema da inversão aritmética nestas álgebra. Provei a decomposição do grupo de seus elementos invertíveis em fatores elementares, teorema consideravelmente mais útil que o Teorema Fundamental da Álgebra. Investiguei combinatorialmente algumas relações, em especial a construção das multiplicações primas pelas naturais, a Lei das Fatorações Naturais e algumas fórmulas primitivas. Criei a noção de álgebra simetrizada de operações e a teoria vaga dos correspondentes simetrizados. Descrevi como a álgebra das operações aditivas circulares faz nascer, da maneira mais natural, o conceito da Transformada de Fourier Discreta, noção fundamental da disciplina de processamento de sinais. Obtive representações de funções aritmeticamente notáveis, como a função de Mertens de maneira abstrata, sem recorrer à função Zeta, por meio da análise harmônica aplicada aos grupos de operações invertíveis. Por fim, mostrei um argumento heurístico para a obtenção de uma assintótica intimamente ligada à hipótese de Riemann, utilizando resíduos complexos da teoria clássica.