Teoremas de Shilnikov e aplicações

• Ano de defesa: 2024
• Autor(a) principal: Leone, Gabriel Ferreira [UNESP]
• Orientador(a): Messias, Marcelo [UNESP]
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Estadual Paulista (Unesp)
• Palavras-chave em Português: Teorema de Shilnikov; Órbita Homoclínica; Aplicação de Poincaré; Aplicação shift; Ciclo Limite; Caos
• Palavras-chave em Inglês: Shilnikov’s Theorem; Homoclinic Orbit; Poincaré Application; Chaos; Limit Cycle; Shift Application
• Link de acesso: https://hdl.handle.net/11449/261713

O trabalho apresenta um estudo detalhado sobre a dinâmica de sistemas diferenciais não lineares, definidos em R^3, que possuem uma órbita homoclínica a um ponto de sela, localizado na origem. Destaca-se o caso em que a órbita é homoclínica a um ponto do tipo sela-foco, para o qual apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema de Shilnikov, que garante a ocorrência de comportamento caótico da dinâmica do sistema, numa vizinhança do ponto de equilíbrio. Para demonstração deste resultado, constrói-se uma Aplicação de Poincaré definida em uma seção transversal à órbita homoclínca ao ponto sela-foco, e mostra-se que, numa vizinhança desta órbita a transformação é conjugada a aplicação shift em dois símbolos, herdando assim a dinâmica complexa gerada por esta aplicação. Ressaltamos que este é um dos poucos resultados analíticos utilizados para demonstração de dinâmica caótica em sistemas diferenciais contínuos, possuindo uma demonstração bastante elaborada. No caso de uma órbita homoclínica a um ponto de sela-foco, mostra-se a existência de ciclos limites próximo à órbita homoclínica, utilizando a mesma técnica. Neste caso, o ciclo limite é obtido como um ponto fixo da Aplicação de Poincaré ou utilizando o Teorema de Smale (1963). Por fim, o trabalho explora algumas aplicações práticas dos Teoremas de Shilnikov no estudo de sistemas não lineares com dinâmica caótica.