Propriedades ergódicas de transformações de intercâmbio de intervalos

• Ano de defesa: 2025
• Autor(a) principal: Stols, Erica de Goes
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Dynamical systems; Ergodic properties; Interval exchange transformations; Minimalidade; Minimality; Propriedades ergódicas; Sistemas dinâmicos; Transformações de intercambio de intervalos; Unicidade ergodica; Unique ergodicity
• Link de acesso: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-30012026-170605/

Nesta dissertação investigamos propriedades ergódicas de Transformações de Intercâmbio de Intervalos (IETs), uma classe de sistemas dinâmicos que generaliza rotações do círculo e preserva a medida de Lebesgue. Após apresentar definições e exemplos fundamentais, analisamos critérios necessários e suficientes para minimalidade, com ênfase nas condições formuladas por Keane, incluindo a infinite distinct orbit condition (i.d.o.c.). Em seguida, estudamos medidas invariantes e a questão da unicidade ergódica: discutimos tanto os contraexemplos clássicos de KeynesNewton e de Keane, que mostram que minimalidade não implica unicidade ergódica, quanto os teoremas de Boshernitzan e Veech, que estabelecem condições suficientes para unicidade. São também examinados os resultados de Masur e Veech que demonstram que, para quase todos os valores dos parâmetros, uma IET é unicamente ergódica, assim como a abordagem combinatória de Boshernitzan para o mesmo resultado. O trabalho aborda ainda propriedades de mixing, explorando os resultados centrais em mixing forte, mixing fraco topologico, e mixing fraco no sentido métrico. Na sequência, introduzimos o método de Indução de RauzyVeech, destacando seu papel como operador de renormalização e sua utilidade na demonstração de resultados ergódicos e estruturais. Por fim, exploramos brevemente generalizações relevantes das IETs, discutindo ainda problemas em aberto que permanecem centrais no campo. A ênfase ao longo do texto é dada tanto à clareza conceitual quanto ao rigor matemático, buscando articular a abordagem combinatória e a geométrica de maneira complementar.