Building bridges between Diophantine approximation, continued fractions and measure theory

Detalhes bibliográficos
Ano de defesa: 2024
Autor(a) principal: Castañeda, Christian Sanabria
Orientador(a): Não Informado pela instituição
Banca de defesa: Não Informado pela instituição
Tipo de documento: Dissertação
Tipo de acesso: Acesso aberto
Idioma: eng
Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
Programa de Pós-Graduação: Não Informado pela instituição
Departamento: Não Informado pela instituição
País: Não Informado pela instituição
Palavras-chave em Português:
Approximation order by rationals
Aproximação diofantina
Conjecturas de Graham
Diophantine approximation
Fermat two squares theorem
Fracções contínuas irregulares
Fracções contínuas regulares
Fundamental theorem of diophantine approximation
Gauss-Kuzmin theorem
Gausss problem
Graham conjectures
Irrationality measure
Irregular continued fraction
Khintchines theorem
Medida de irracionalidade
Metric theory of continued fractions
Ordem de aproximação por racionais
Problemas de Gauss
Regular continued fraction
Teorema de Gauss-Kuzmin
Teorema de Khintchine
Teorema dos dois quadradoss de Fermat
Teorema fundamental da aproximação diofantina
Teoria métrica das Fracções contínuas
Link de acesso: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55135/tde-24012025-172202/
Resumo: This work pretends to explore some classical methods of Diophantine approximation theory and to introduce, in a gentle manner, the apparatus of continued fractions with a special emphasis on the metric aspects of the theory. In the first part, we present the notions of the Farey sequence, Ford circles, and the Stern-Brocot tree, and then, we illustrate how to use them to solve several problems in Diophantine analysis and elementary number theory, like Grahams conjectures and Fermats two squares theorem. The second part starts by showing the basic ideas of the theory of continued fractions and then move towards an exposition of the interplay with measure theory. Three results of paramount importance, and some applications, will be stated and proved here: the fundamental theorem of Diophantine approximation, the Gauss-Kuzmin and Khintchines (ergodic) theorems.
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spelling Building bridges between Diophantine approximation, continued fractions and measure theoryConstruindo pontes entre aproximação Diofantina, frações contínuas e teoria da medidaApproximation order by rationalsAproximação diofantinaConjecturas de GrahamDiophantine approximationFermat two squares theoremFracções contínuas irregularesFracções contínuas regularesFundamental theorem of diophantine approximationGauss-Kuzmin theoremGausss problemGraham conjecturesIrrationality measureIrregular continued fractionKhintchines theoremMedida de irracionalidadeMetric theory of continued fractionsOrdem de aproximação por racionaisProblemas de GaussRegular continued fractionTeorema de Gauss-KuzminTeorema de KhintchineTeorema dos dois quadradoss de FermatTeorema fundamental da aproximação diofantinaTeoria métrica das Fracções contínuasThis work pretends to explore some classical methods of Diophantine approximation theory and to introduce, in a gentle manner, the apparatus of continued fractions with a special emphasis on the metric aspects of the theory. In the first part, we present the notions of the Farey sequence, Ford circles, and the Stern-Brocot tree, and then, we illustrate how to use them to solve several problems in Diophantine analysis and elementary number theory, like Grahams conjectures and Fermats two squares theorem. The second part starts by showing the basic ideas of the theory of continued fractions and then move towards an exposition of the interplay with measure theory. Three results of paramount importance, and some applications, will be stated and proved here: the fundamental theorem of Diophantine approximation, the Gauss-Kuzmin and Khintchines (ergodic) theorems.Este trabalho pretende explorar alguns métodos clássicos da teoria de aproximação Diofantina e apresentar, de um modo simples, a maquinaria das frações contínuas com uma ênfase especial nos aspectos relacionados com a teoria da medida. Na primeira parte, introduzimos a noção de sequência de Farey, círculos de Ford, e a árvore de Stern-Brocot, e então, ilustramos como usar estas técnicas para resolver vários problemas da análise Diofantina e a teoria elementar dos números, como as conjecturas de Graham e o teorema da soma dos quadrados de Fermat. A segunda parte começa mostrando as ideias básicas da teoria das fracções contínuas e depois avança para uma exposição da interação com a teoria da medida. Três resultados de suma importância, e algumas aplicações, serão enunciados e provados aqui: o teorema fundamental da aproximação Diofantina, o teorema de Gauss-Kuzmin e o teorema (ergódico) de Khintchine.Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USPMencattini, IgorCastañeda, Christian Sanabria2024-10-25info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttps://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55135/tde-24012025-172202/reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USPinstname:Universidade de São Paulo (USP)instacron:USPLiberar o conteúdo para acesso público.info:eu-repo/semantics/openAccesseng2025-01-24T19:33:01Zoai:teses.usp.br:tde-24012025-172202Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttp://www.teses.usp.br/PUBhttp://www.teses.usp.br/cgi-bin/mtd2br.plvirginia@if.usp.br|| atendimento@aguia.usp.br||virginia@if.usp.bropendoar:27212025-01-24T19:33:01Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP - Universidade de São Paulo (USP)false
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Construindo pontes entre aproximação Diofantina, frações contínuas e teoria da medida
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description This work pretends to explore some classical methods of Diophantine approximation theory and to introduce, in a gentle manner, the apparatus of continued fractions with a special emphasis on the metric aspects of the theory. In the first part, we present the notions of the Farey sequence, Ford circles, and the Stern-Brocot tree, and then, we illustrate how to use them to solve several problems in Diophantine analysis and elementary number theory, like Grahams conjectures and Fermats two squares theorem. The second part starts by showing the basic ideas of the theory of continued fractions and then move towards an exposition of the interplay with measure theory. Three results of paramount importance, and some applications, will be stated and proved here: the fundamental theorem of Diophantine approximation, the Gauss-Kuzmin and Khintchines (ergodic) theorems.
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