Microlocalização algébrica para anéis e módulos graduados por grupoide

• Ano de defesa: 2024
• Autor(a) principal: Souza, Wellington Marques de
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Alegbraic microlocalization; Graduados por grupoide; Groupoid graded; Localização de Ore; Microlocalização algébrica; Ore's localization
• Link de acesso: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-21082025-115030/

Em álgebra, o termo Localização é amplamente utilizado como um conjunto de ferramentas que nos permitem construir, a partir de um objeto (anel, categoria, ...) e de um subconjunto S de elementos pré-fixado, um outro objeto do mesmo tipo onde os elementos de S se tornam invertíveis. Em um anel comutativo, sempre é possível localizar em um subconjunto multiplicativo de forma semelhante a como são construídas as frações na álgebra básica. No caso não comutativo, esta técnica de frações nem sempre funciona, podendo acontecer qualquer dos seguintes 3 cenários: é impossível usar o método de frações, existem infinitos modos de localizar e os objetos obtidos são dois a dois não isomorfos ou existe uma única localização que muitas vezes vem dada pela técnica de frações. O último caso, um dos nossos objetos de estudo, trata da Localização de Ore. A construção é bem conhecida tanto para anéis com identidade quanto para anéis com identidade graduados por grupo. Essencialmente, um anel graduado por um grupoide Omega só possui uma identidade multiplicativa quando os subanéis indexados pelos idempotentes possuem identidade não nula e existe apenas um número finito de idempotentes. Neste caso, é possível inverter elementos de um subconjunto de denominadores (à esquerda) formado por elementos homogêneos usando o método tradicional de frações. Entretanto, quando o subgrupóide dos idempotentes é infinito, não podemos garantir a existência de uma identidade multiplicativa, tampouco falar de inversos no sentido tradicional. Neste trabalho, usando a noção de Omega-identidades e Omega-inversos, adaptamos a Localização de Ore clássica. Também desenvolvemos Microlocalização Algébrica para o caso Omega-graduado. Neste caso, a partir de técnicas de anéis filtrados e anéis graduados, localizamos em conjuntos multiplicativos onde a localização de Ore não se aplica. Também adaptamos para o contexto graduado por grupóide vários outros conceitos da teoria de anéis clássica, tais como as condições de cadeia ascendente e descendente, radical de Jacobson, ideais primos, entre outros.