Generalized differences methods for the fractional Laplacian and equations involving it

• Ano de defesa: 2024
• Autor(a) principal: Fornel, Guilherme Fiorin
• Orientador(a): Azevedo, Fabio Souto de
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: eng
• Palavras-chave em Português: Laplaciano fracionário; Métodos numéricos; Diferenças finitas; Quadratura duplamente exponencial
• Palavras-chave em Inglês: Fractional Laplacian; Numerical methods; Finite differences; Generalized differences approximations; Tanh-sinh; Double exponential quadrature; Numerical methods in C++
• Link de acesso: http://hdl.handle.net/10183/292185

O principal objetivo deste trabalho é estudar e desenvolver métodos numéricos (e também produzir tecnologia de software) para aproximar o operador Laplaciano fracionário de ordem α ∈ (0, 2) em dimensão um, a fim de contribuir com os trabalhos já existentes na literatura pertinente. No que se refere à metologia empregada, envolve técnicas tanto analíticas como computacionais. Com vistas a futuras aplicações em equações envolvendo o operador, o trabalho focou-se em métodos baseados em diferenças finitas, devido à sua simplicidade em relação a outros métodos. Para isto, baseou-se principalmente nos trabalhos de Huang & Oberman [42, 43], já canônicos no tema. Devido à teoria desenvolvida em [43], que unifica grande parte dos métodos baseados em diferenças para aproximar o operador em dimensão um, foi possível introduzir o conceito de aproximações por diferenças generalizadas, contribuindo com os trabalhos de Huang & Oberman e que, além disso, garante a validade do princípio do máximo discreto para o problema de Dirichlet estendido na reta. As diferenças generalizadas são uma família de métodos que envolvem aproximações semi-discretas do operador atuando em uma função real y : R → R, que recaem em convoluções semi-discretas de sequências duplamente infinitas: uma representa a função y e outra que representa um conjunto de coeficientes adequadamente escolhidos. Após a projeção do operador aproximado em uma grade equiespaçada, o somatório, que define uma convolução discreta, é escrito como uma soma finita e o termo restante, chamado de termo de campo distante, é substituído por representações integrais ou simplesmente desprezado. A fim de introduzir tal família de aproximações, além da teoria apresentada em [43], foi necessário um estudo dos multiplicadores de Fourier associados aos métodos de diferenças centradas equiespaçadas para a segunda derivada. Além disso, são propostos métodos acurados para o cálculo de alguns dos coeficientes provenientes de métodos já existentes na literatura. A acurácia é comprovada por experimentos numéricos. Para aproximar o campo distante, além da metodologia apresentada em [42, 43] para funções com decaimento algébrico no infinito, é proposta a utilização da quadratura de propósito geral tanh-sinh (Quadradura Duplamente Exponencial) para integração numérica em domínios semi-infinitos. Resultados dos experimentos numéricos apresentados neste trabalho indicam que o uso da tanh-sinh é uma opção viável para aproximar este termo. Todo o software produzido para a implementação computacional e experimentos numéricos, implementado em C++, é de código aberto e está disponível em um repositório on-line, conforme indicado no texto. O software é projetado para ser extensível, a fim de ser utilizado em outras aplicações e trabalhos futuros relacionados ao tema.