Colorações canônicas em teoria de Ramsey

• Ano de defesa: 2026
• Autor(a) principal: Vicente, Hugo Martins
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Combinatória; Combinatorics; Funções limiares; Grafos aleatórios; Graph theory; Método probabilístico; Probabilistic method; Ramsey theory; Random graphs; Teoria de Ramsey; Teoria dos grafos; Threshold functions
• Link de acesso: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45134/tde-16032026-144300/

A propriedade Ramsey-canônica expande a teoria clássica de Ramsey ao considerar colorações em grafos sem restrição no número de cores, buscando padrões inevitáveis. Nesse contexto, uma cópia de um grafo H em um grafo G é chamada de canônica se for monocromática, rainbow ou lexicográfica. O Teorema de Ramsey Canônico, de Erdos e Rado, garante que, para qualquer grafo H, todo grafo suficientemente grande contém uma cópia canônica de H, sob qualquer coloração de suas arestas. Neste trabalho, estudamos o surgimento da propriedade Ramsey-canônica no modelo de grafos aleatórios G(n,p), isto é, investigamos para quais funções p = p(n) essa propriedade ocorre com alta probabilidade. Apresentamos e discutimos três resultados recentes nessa direção: o primeiro determina o limiar da propriedade para o caso em que H é um grafo completo K&#120001, o segundo estabelece o limiar no caso em que H é um grafo arbitrário, mas limitado a colorações com restrições de listas, e o terceiro mostra uma cota superior quase justa para o caso em que H é um ciclo par. As definições de propriedade Ramsey-canônica adotadas nesses três resultados variam ligeiramente, especialmente nas condições impostas sobre as cópias lexicográficas e, em geral, nenhum dos resultados implica o outro. As demonstrações desses resultados fazem uso de diversas técnicas de combinatória extremal e probabilística, como exposição em múltiplas rodadas, o uso cuidadoso de propriedades estruturais de G(n,p), método de Contêineres de hipergrafos, dentre outros. Ao longo desta dissertação, discutimos as diferenças fundamentais entre cada definição adotada, bem como as ideias centrais das demonstrações e ferramentas intermediárias necessárias.